MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebriceNumere Complexe
Fie f=X3−2X2+X−1f = X^3 - 2X^2 + X - 1 cu rădăcinile x1,x2,x3∈Cx_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}. Calculați valoarea expresiei E=x13+x23+x33E = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3, folosind relațiile lui Viète și identități algebrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din relațiile lui Viète pentru f=X3−2X2+X−1f = X^3 - 2X^2 + X - 1: S1=x1+x2+x3=2S_1 = x_1+x_2+x_3 = 2, S2=x1x2+x1x3+x2x3=1S_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = 1, S3=x1x2x3=1S_3 = x_1x_2x_3 = 1.
23 puncte
Folosim identitatea x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−3(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)+3x1x2x3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1+x_2+x_3)^3 - 3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) + 3x_1x_2x_3.
33 puncte
Substituim: E=23−3⋅2⋅1+3⋅1=8−6+3=5E = 2^3 - 3\cdot 2 \cdot 1 + 3\cdot 1 = 8 - 6 + 3 = 5.
42 puncte
Verificare sau menționare că identitatea este valabilă pentru orice numere complexe, iar rezultatul este corect: E=5E = 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.