MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d cu coeficienți reali. Știind că P(1)=0P(1) = 0, P(2)=0P(2) = 0, și că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din condițiile P(1)=0P(1)=0 și P(2)=0P(2)=0 obținem ecuațiile: 1+a+b+c+d=01+a+b+c+d=0 și 16+8a+4b+2c+d=016+8a+4b+2c+d=0.
23 puncte
Deoarece rădăcinile sunt în progresie aritmetică, notăm cele patru rădăcini cu r−3k,r−k,r+k,r+3kr-3k, r-k, r+k, r+3k. Din P(1)=0P(1)=0 și P(2)=0P(2)=0, alegem r−k=1r-k=1 și r+k=2r+k=2, de unde r=1.5r=1.5 și k=0.5k=0.5. Astfel, rădăcinile sunt 0,1,2,30, 1, 2, 3.
33 puncte
Polinomul se factorizează: P(x)=x(x−1)(x−2)(x−3)=x4−6x3+11x2−6xP(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x. Comparând cu P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d, identificăm coeficienții: a=−6a=-6, b=11b=11, c=−6c=-6, d=0d=0.
42 puncte
Verificăm că valorile obținute satisfac ecuațiile inițiale și concluzionăm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.