MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații neliniare: {x+y+z=6xy+yz+zx=11xyz=6\begin{cases} x + y + z = 6 \\ xy + yz + zx = 11 \\ xyz = 6 \end{cases} folosind teoria polinoamelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
13 puncte
Considerăm polinomul P(t)=t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyzP(t) = t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz. Conform relațiilor lui Viète, x,y,zx, y, z sunt rădăcinile acestui polinom.
21 punct
Înlocuind valorile date, obținem polinomul P(t)=t3−6t2+11t−6P(t) = t^3 - 6t^2 + 11t - 6.
32 puncte
Căutăm rădăcinile întregi ale polinomului. Testăm divizorii termenului liber: ±1,±2,±3,±6\pm1, \pm2, \pm3, \pm6.
42 puncte
P(1)=1−6+11−6=0P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0, deci t=1t=1 este rădăcină. Efectuăm împărțirea polinomului la (t−1)(t-1) și obținem t2−5t+6t^2 - 5t + 6.
51 punct
Rezolvăm ecuația t2−5t+6=0t^2 - 5t + 6 = 0, care are rădăcinile t=2t=2 și t=3t=3.
61 punct
Astfel, soluțiile sistemului sunt tripletele (x,y,z)(x,y,z) care sunt permutări ale mulțimii {1,2,3}\{1,2,3\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.