MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameTrigonometrieIdentități algebrice
Arătați că numerele cos⁡π9\cos\frac{\pi}{9}, cos⁡7π9\cos\frac{7\pi}{9}, cos⁡13π9\cos\frac{13\pi}{9} sunt rădăcinile polinomului P(x)=8x3−6x−1P(x) = 8x^3 - 6x - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosiți identitatea trigonometrică cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.
24 puncte
Pentru x=cos⁡θx = \cos\theta, avem P(x)=8cos⁡3θ−6cos⁡θ−1=2(4cos⁡3θ−3cos⁡θ)−1=2cos⁡3θ−1P(x) = 8\cos^3\theta - 6\cos\theta - 1 = 2(4\cos^3\theta - 3\cos\theta) - 1 = 2\cos 3\theta - 1. Atunci P(x)=0P(x)=0 dacă și numai dacă cos⁡3θ=12\cos 3\theta = \frac{1}{2}.
32 puncte
Rezolvați ecuația cos⁡3θ=12\cos 3\theta = \frac{1}{2}: 3θ=±π3+2kπ3\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}. Deci θ=±π9+2kπ3\theta = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}. Pentru k=0,1,2k=0,1,2, obținem θ=π9,7π9,13π9\theta = \frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9} (considerând valori distincte modulo 2π2\pi). Atunci x=cos⁡θx = \cos\theta dau rădăcinile cerute.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.