MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x4+1P(x) = x^4 + 1. Determinați toate rădăcinile complexe ale acestui polinom și arătați că suma rădăcinilor este 0, iar produsul lor este 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem ecuația P(x)=0P(x)=0, adică x4+1=0x^4 + 1 = 0.
22 puncte
Exprimăm −1-1 în formă trigonometrică: −1=cos⁡π+isin⁡π-1 = \cos \pi + i \sin \pi.
33 puncte
Aplicăm formula lui De Moivre pentru a găsi rădăcinile: xk=cos⁡(π+2kπ4)+isin⁡(π+2kπ4)x_k = \cos \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right), cu k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
42 puncte
Folosind relațiile lui Viete, pentru polinomul x4+1x^4 + 1, coeficientul lui x3x^3 este 0, deci suma rădăcinilor este 0.
51 punct
Produsul rădăcinilor este termenul liber împărțit la coeficientul dominant, adică 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.