MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeTrigonometrie
Se consideră polinomul R(x)=x5−1R(x) = x^5 - 1. Descompuneți R(x)R(x) în factori ireductibili peste R\mathbb{R} și peste C\mathbb{C}. Apoi, folosind această descompunere, calculați suma S=cos⁡2π5+cos⁡4π5+cos⁡6π5+cos⁡8π5S = \cos\frac{2\pi}{5} + \cos\frac{4\pi}{5} + \cos\frac{6\pi}{5} + \cos\frac{8\pi}{5}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Peste C\mathbb{C}, rădăcinile sunt rădăcinile de ordinul 5 ale unității: xk=ei2kπ5x_k = e^{i\frac{2k\pi}{5}} pentru k=0,1,2,3,4k=0,1,2,3,4. Deci x5−1=(x−1)(x4+x3+x2+x+1)x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).
23 puncte
Peste R\mathbb{R}, factorizăm x4+x3+x2+x+1x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 folosind perechile de rădăcini complexe conjugate: x4+x3+x2+x+1=(x2−2cos⁡2π5x+1)(x2−2cos⁡4π5x+1)x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 - 2\cos\frac{2\pi}{5}x + 1)(x^2 - 2\cos\frac{4\pi}{5}x + 1).
34 puncte
Suma SS este suma părților reale ale rădăcinilor complexe nenule ale polinomului x4+x3+x2+x+1x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Aceste rădăcini sunt ei2π5,ei4π5,ei6π5,ei8π5e^{i\frac{2\pi}{5}}, e^{i\frac{4\pi}{5}}, e^{i\frac{6\pi}{5}}, e^{i\frac{8\pi}{5}}, iar suma lor este −1-1 (din relația lui Viète). Partea reală a sumei este 2(cos⁡2π5+cos⁡4π5)=−12(\cos\frac{2\pi}{5} + \cos\frac{4\pi}{5}) = -1, deci cos⁡2π5+cos⁡4π5=−12\cos\frac{2\pi}{5} + \cos\frac{4\pi}{5} = -\frac{1}{2}. Atunci S=cos⁡2π5+cos⁡4π5+cos⁡6π5+cos⁡8π5=2(cos⁡2π5+cos⁡4π5)=−1S = \cos\frac{2\pi}{5} + \cos\frac{4\pi}{5} + \cos\frac{6\pi}{5} + \cos\frac{8\pi}{5} = 2(\cos\frac{2\pi}{5} + \cos\frac{4\pi}{5}) = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.