MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateSisteme de Ecuații Liniare
Fie polinomul P(x)=x3+mx2+nx+pP(x) = x^3 + mx^2 + nx + p cu m,n,p∈Rm, n, p \in \mathbb{R}. Știind că x=1x=1 este rădăcină dublă a polinomului și că P(2)=10P(2)=10, determinați coeficienții m,n,pm, n, p.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Deoarece x=1x=1 este rădăcină dublă, avem P(1)=0P(1)=0 și P′(1)=0P'(1)=0, unde P′(x)P'(x) este derivata polinomului. Calculăm P(1)=1+m+n+p=0P(1) = 1 + m + n + p = 0 și P′(x)=3x2+2mx+nP'(x) = 3x^2 + 2mx + n, deci P′(1)=3+2m+n=0P'(1) = 3 + 2m + n = 0.
23 puncte
Din P(2)=10P(2)=10, avem 8+4m+2n+p=10⇒4m+2n+p=28 + 4m + 2n + p = 10 \Rightarrow 4m + 2n + p = 2.
33 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații: m+n+p=−1m + n + p = -1, 2m+n=−32m + n = -3, și 4m+2n+p=24m + 2n + p = 2. Din 2m+n=−32m + n = -3, obținem n=−3−2mn = -3 - 2m. Substituim în prima ecuație: m+(−3−2m)+p=−1⇒−m−3+p=−1⇒p=m+2m + (-3 - 2m) + p = -1 \Rightarrow -m - 3 + p = -1 \Rightarrow p = m + 2. Substituim în a treia ecuație: 4m+2(−3−2m)+(m+2)=2⇒4m−6−4m+m+2=2⇒m−4=2⇒m=64m + 2(-3 - 2m) + (m+2) = 2 \Rightarrow 4m - 6 - 4m + m + 2 = 2 \Rightarrow m - 4 = 2 \Rightarrow m=6. Atunci n=−3−2(6)=−15n = -3 - 2(6) = -15 și p=6+2=8p = 6+2=8. Deci m=6,n=−15,p=8m=6, n=-15, p=8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.