MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x4−4x3+6x2−4x+5P(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5. Determinați toate rădăcinile complexe ale acestui polinom și scrieți-l ca produs de factori polinomiali ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că P(x)=(x−1)4+4P(x) = (x-1)^4 + 4, deoarece (x−1)4=x4−4x3+6x2−4x+1(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1.\n
24 puncte
Rezolvați ecuația (x−1)4=−4(x-1)^4 = -4. Exprimați −4-4 în formă trigonometrică: −4=4(cos⁡π+isin⁡π)-4 = 4(\cos\pi + i\sin\pi). Găsiți rădăcinile: x−1=2⋅ei(π/4+kπ/2)x-1 = \sqrt{2} \cdot e^{i(\pi/4 + k\pi/2)} pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3. Obțineți x=2+i,i,−i,2−ix = 2+i, i, -i, 2-i.\n
33 puncte
Scrieți polinomul ca produs de factori peste R\mathbb{R} grupând rădăcinile conjugate: P(x)=(x2+1)(x2−4x+5)P(x) = (x^2 + 1)(x^2 - 4x + 5).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.