MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x2−2x+5P(x) = x^2 - 2x + 5. Determinați polinomul Q(x)Q(x) cu coeficienți reali care are rădăcinile z12z_1^2 și z22z_2^2, unde z1z_1 și z2z_2 sunt rădăcinile lui P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsim rădăcinile lui P(x)P(x) rezolvând ecuația x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0. Discriminantul este Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16, deci z1,2=2±4i2=1±2iz_{1,2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i.
23 puncte
Calculăm pătratele rădăcinilor: z12=(1+2i)2=1+4i+4i2=1+4i−4=−3+4iz_1^2 = (1+2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i, și z22=(1−2i)2=1−4i+4i2=1−4i−4=−3−4iz_2^2 = (1-2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i.
32 puncte
Polinomul Q(x)Q(x) are rădăcinile −3+4i-3 + 4i și −3−4i-3 - 4i. Deoarece coeficienții sunt reali, Q(x)=(x−(−3+4i))(x−(−3−4i))=(x+3−4i)(x+3+4i)Q(x) = (x - (-3 + 4i))(x - (-3 - 4i)) = (x + 3 - 4i)(x + 3 + 4i) .
42 puncte
Efectuăm înmulțirea: (x+3−4i)(x+3+4i)=(x+3)2−(4i)2=x2+6x+9−16(−1)=x2+6x+9+16=x2+6x+25(x + 3 - 4i)(x + 3 + 4i) = (x+3)^2 - (4i)^2 = x^2 + 6x + 9 - 16(-1) = x^2 + 6x + 9 + 16 = x^2 + 6x + 25. Deci Q(x)=x2+6x+25Q(x) = x^2 + 6x + 25.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.