MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Se consideră polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că P(1+i)=0P(1+i) = 0 și că restul împărțirii lui P(x)P(x) la (x−1)(x-1) este 5, să se determine valorile lui a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali și P(1+i)=0P(1+i)=0, rezultă că P(1−i)=0P(1-i)=0. Astfel, polinomul are factorii (x−(1+i))(x - (1+i)) și (x−(1−i))(x - (1-i)), iar produsul lor este (x−1−i)(x−1+i)=x2−2x+2(x - 1 - i)(x - 1 + i) = x^2 - 2x + 2.
23 puncte
Polinomul P(x)P(x) fiind de gradul 3, poate fi scris sub forma P(x)=(x2−2x+2)(x+k)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x + k), unde k∈Rk \in \mathbb{R}.
32 puncte
Conform teoremei restului, restul împărțirii la (x−1)(x-1) este P(1)=5P(1) = 5. Calculăm P(1)P(1) din expresia de mai sus: P(1)=(12−2⋅1+2)(1+k)=(1−2+2)(1+k)=(1)(1+k)=1+kP(1) = (1^2 - 2\cdot1 + 2)(1 + k) = (1 - 2 + 2)(1+k) = (1)(1+k) = 1+k.
42 puncte
Din P(1)=1+k=5P(1) = 1+k = 5, obținem k=4k=4. Așadar, P(x)=(x2−2x+2)(x+4)=x3+4x2−2x2−8x+2x+8=x3+2x2−6x+8P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x + 4) = x^3 + 4x^2 - 2x^2 - 8x + 2x + 8 = x^3 + 2x^2 - 6x + 8. Comparând cu P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, deducem a=2a=2, b=−6b=-6, c=8c=8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.