MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră polinomul Q(x)=x3−3x2+kx+1Q(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 1, unde kk este un parametru real. a) Determinați valorile lui kk pentru care polinomul are trei rădăcini reale distincte. b) Pentru k=2k=2, studiați monotonia funcției f(x)=Q(x)f(x) = Q(x) și determinați punctele de extrem.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Derivata polinomului este Q′(x)=3x2−6x+kQ'(x) = 3x^2 - 6x + k.
21 punct
Condiția ca Q′(x)Q'(x) să aibă două rădăcini reale distincte: Δ=36−12k>0\Delta = 36 - 12k > 0, deci k<3k < 3.
32 puncte
Fie x1x_1 și x2x_2 rădăcinile lui Q′(x)Q'(x). Pentru ca Q(x)Q(x) să aibă trei rădăcini reale distincte, este necesar ca Q(x1)⋅Q(x2)<0Q(x_1) \cdot Q(x_2) < 0.
42 puncte
Folosind relațiile x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 și x1x2=k3x_1 x_2 = \frac{k}{3} din Vieta, calculăm Q(x1)⋅Q(x2)=4k−8Q(x_1) \cdot Q(x_2) = 4k - 8 și obținem inecuația 4k−8<04k - 8 < 0, deci k>2k > 2.
52 puncte
Din pașii anteriori, pentru partea a), valorile lui kk sunt k∈(2,3)k \in (2, 3).
62 puncte
Pentru k=2k=2, Q(x)=x3−3x2+2x+1Q(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1. Derivata Q′(x)=3x2−6x+2Q'(x) = 3x^2 - 6x + 2 are rădăcinile x1,2=1±33x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}. Studiind semnul derivatei, funcția este crescătoare pe (−∞,1−33](-\infty, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}] și pe [1+33,∞)[1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \infty), și descrescătoare pe [1−33,1+33][1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}]. Punctele de extrem sunt maxim local la x=1−33x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} și minim local la x=1+33x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.