MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x4−4x3+6x2−4x+5P(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5. Determinați toate rădăcinile complexe ale acestui polinom și exprimați-l ca produs de factori ireductibili peste mulțimea numerelor reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observați că P(x)=(x−1)4+4P(x) = (x-1)^4 + 4 prin recunoașterea binomului lui Newton sau calcul direct.
23 puncte
Scrieți ecuația (x−1)4=−4(x-1)^4 = -4 și exprimați −4-4 în formă trigonometrică: −4=4(cos⁡π+isin⁡π)-4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi). Rădăcinile de ordinul 4 sunt x−1=44(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)x-1 = \sqrt[4]{4} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
33 puncte
Calculați rădăcinile: 44=2\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}, deci x=1+2(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)x = 1 + \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right). Obțineți cele patru rădăcini complexe.
42 puncte
Grupați rădăcinile complexe conjugate și scrieți factorizarea peste R\mathbb{R}: P(x)=(x2−2x(1+2cos⁡π4)+(1+2cos⁡π4)2+(2sin⁡π4)2)⋅(x2−2x(1−2cos⁡π4)+(1−2cos⁡π4)2+(2sin⁡π4)2)P(x) = (x^2 - 2x(1+\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}) + (1+\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4})^2 + (\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4})^2) \cdot (x^2 - 2x(1-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}) + (1-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4})^2 + (\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4})^2), sau simplificat, P(x)=(x2−2x+3)(x2−2x+1)P(x) = (x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x + 1) după calcule, dar se verifică că P(x)=(x2−2x+1+2i)(x2−2x+1−2i)P(x) = (x^2 - 2x + 1 + 2i)(x^2 - 2x + 1 - 2i) nu este real; corect este: din (x−1)4+4=0(x-1)^4 + 4 = 0, rădăcinile sunt 1±−441 \pm \sqrt[4]{-4}, iar factorizarea reală rezultă din perechi conjugate, de exemplu, P(x)=(x2−2x+1+2)(x2−2x+1−2)=(x2−2x+3)(x2−2x−1)P(x) = (x^2 - 2x + 1 + 2)(x^2 - 2x + 1 - 2) = (x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x - 1), dar aceasta nu este corectă; se poate arăta că P(x)=(x2−2x+1+2i)(x2−2x+1−2i)P(x) = (x^2 - 2x + 1 + 2i)(x^2 - 2x + 1 - 2i) și folosind (A+iB)(A−iB)=A2+B2(A+iB)(A-iB)=A^2+B^2, cu A=x2−2x+1A=x^2-2x+1, B=2B=2, deci P(x)=(x2−2x+1)2+4=(x2−2x+1)2+4P(x) = (x^2-2x+1)^2 + 4 = (x^2-2x+1)^2+4, dar pentru factorizare reală, se scrie ca (x2−2x(parte reala˘)+∣r∣2)(x^2 - 2x(\text{parte reală}) + |r|^2) pentru fiecare pereche de rădăcini conjugate. În final, P(x)=(x2−2x+1+2)(x2−2x+1−2)=(x2−2x+3)(x2−2x−1)P(x) = (x^2 - 2x + 1 + 2)(x^2 - 2x + 1 - 2) = (x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x - 1) nu este corect; corect este: rădăcinile sunt 1±2eiπ/41 \pm \sqrt{2}e^{i\pi/4} și 1±2e3iπ/41 \pm \sqrt{2}e^{3i\pi/4}, care se grupează în (x−(1+2eiπ/4))(x−(1+2e3iπ/4))(x - (1+\sqrt{2}e^{i\pi/4}))(x - (1+\sqrt{2}e^{3i\pi/4})) și conjugatul, iar produsul dă factori de gradul 2 cu coeficienți reali: x2−2xℜ(1+2eiπ/4)+∣1+2eiπ/4∣2x^2 - 2x\Re(1+\sqrt{2}e^{i\pi/4}) + |1+\sqrt{2}e^{i\pi/4}|^2, etc. Pentru simplitate, baremul poate indica că din calcul se obține P(x)=(x2−2x+1+2)(x2−2x+1−2)=(x2−2x+3)(x2−2x−1)P(x) = (x^2 - 2x + 1 + 2)(x^2 - 2x + 1 - 2) = (x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x - 1) este greșit; se poate scrie că P(x)=(x2−2x+3)(x2−2x+1)P(x) = (x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x + 1) nu se verifică. Mai bine: din (x−1)4=−4(x-1)^4 = -4, rădăcinile sunt 1+2(cos⁡π4+isin⁡π4)1 + \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}), 1+2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)1 + \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}), etc., iar factorizarea reală este P(x)=(x2−2x(1+2cos⁡π4)+(1+2cos⁡π4)2+(2sin⁡π4)2)⋅(x2−2x(1+2cos⁡3π4)+(1+2cos⁡3π4)2+(2sin⁡3π4)2)P(x) = (x^2 - 2x(1+\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}) + (1+\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4})^2 + (\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4})^2) \cdot (x^2 - 2x(1+\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}) + (1+\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4})^2 + (\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4})^2). După calcul, cos⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡π4=22\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, deci primul factor: x2−2x(1+1)+(1+1)2+12=x2−4x+4+1=x2−4x+5x^2 - 2x(1+1) + (1+1)^2 + 1^2 = x^2 - 4x + 4+1 = x^2 - 4x + 5; al doilea: cos⁡3π4=−22\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡3π4=22\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, deci x2−2x(1−1)+(1−1)2+12=x2+1x^2 - 2x(1-1) + (1-1)^2 + 1^2 = x^2 + 1. Așadar, P(x)=(x2−4x+5)(x2+1)P(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 + 1). Verificare: (x2−4x+5)(x2+1)=x4−4x3+5x2+x2−4x+5=x4−4x3+6x2−4x+5(x^2-4x+5)(x^2+1) = x^4 - 4x^3 + 5x^2 + x^2 - 4x + 5 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5. Corect. Deci în barem, step 4: scrieți factorizarea P(x)=(x2−4x+5)(x2+1)P(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 + 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.