MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul P(x)=x3+px2+qx+rP(x) = x^3 + px^2 + qx + r cu coeficienți reali. Știind că una dintre rădăcinile sale este 1+2i1 + 2i și că P(1)=10P(1) = 10, iar P(−1)=−2P(-1) = -2, determinați polinomul și aflați toate rădăcinile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcina complexă 1+2i1 + 2i are conjugata 1−2i1 - 2i ca rădăcină. Astfel, rădăcinile sunt x1=1+2ix_1 = 1 + 2i, x2=1−2ix_2 = 1 - 2i, și o rădăcină reală tt.
22 puncte
Suma rădăcinilor este −p=(1+2i)+(1−2i)+t=2+t-p = (1+2i) + (1-2i) + t = 2 + t, deci p=−2−tp = -2 - t.
33 puncte
Din P(1)=1+p+q+r=10P(1) = 1 + p + q + r = 10 și P(−1)=−1+p−q+r=−2P(-1) = -1 + p - q + r = -2, obținem sistemul: p+q+r=9p + q + r = 9 și p−q+r=−1p - q + r = -1.
43 puncte
Rezolvând sistemul și folosind relațiile dintre rădăcini și coeficienți, se găsește t=3t = 3, p=−5p = -5, q=7q = 7, r=−3r = -3. Polinomul este P(x)=x3−5x2+7x−3P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3, iar rădăcinile sunt 1+2i1 + 2i, 1−2i1 - 2i, și 33.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.