MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X4−4X3+6X2−4X+5P(X) = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 5. Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului și să se calculeze suma S=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+∣z4∣2S = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + |z_4|^2, unde z1,z2,z3,z4z_1, z_2, z_3, z_4 sunt rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că P(X)=(X−1)4+4P(X) = (X-1)^4 + 4. Așadar, rădăcinile satisfac ecuația (X−1)4=−4(X-1)^4 = -4.
24 puncte
Se scrie −4=4(cos⁡π+isin⁡π)-4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi). Atunci X−1=44(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)X-1 = \sqrt[4]{4} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3. Se obțin rădăcinile zk=1+2(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)z_k = 1 + \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right).
33 puncte
Pentru fiecare rădăcină, ∣zk∣2=∣1+2eiθk∣2=1+2+22cos⁡θk=3+22cos⁡θk|z_k|^2 = |1 + \sqrt{2} e^{i\theta_k}|^2 = 1 + 2 + 2\sqrt{2}\cos\theta_k = 3 + 2\sqrt{2}\cos\theta_k, unde θk=π+2kπ4\theta_k = \frac{\pi + 2k\pi}{4}. Sumând pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3, ∑cos⁡θk=0\sum \cos\theta_k = 0, deci S=4×3=12S = 4 \times 3 = 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.