MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebrice
Un polinom de gradul trei are rădăcinile x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 care satisfac x1+x2+x3=1x_1 + x_2 + x_3 = 1, x1x2+x2x3+x3x1=−2x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -2 și x1x2x3=−3x_1 x_2 x_3 = -3. Determinați polinomul și calculați x14+x24+x34x_1^4 + x_2^4 + x_3^4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem polinomul folosind relațiile Viète: P(x)=x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x−x1x2x3P(x) = x^3 - (x_1+x_2+x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1)x - x_1x_2x_3. Din date, obținem P(x)=x3−x2−2x+3P(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3.
23 puncte
Calculăm x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 folosind identitatea (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x3x1)(x_1+x_2+x_3)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1). Rezultă x12+x22+x32=12−2∗(−2)=5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1^2 - 2*(-2) = 5.
33 puncte
Pentru a calcula x14+x24+x34x_1^4 + x_2^4 + x_3^4, folosim formula pentru sumele puterilor. Mai întâi, calculăm S3=x13+x23+x33=e13−3e1e2+3e3S_3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = e_1^3 - 3e_1 e_2 + 3e_3, unde e1=x1+x2+x3e_1 = x_1+x_2+x_3, e2=x1x2+x2x3+x3x1e_2 = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1, e3=x1x2x3e_3 = x_1x_2x_3. Obținem S3=13−3∗1∗(−2)+3∗(−3)=−2S_3 = 1^3 - 3*1*(-2) + 3*(-3) = -2.
42 puncte
Calculăm S4=x14+x24+x34=e14−4e12e2+2e22+4e1e3=14−4∗12∗(−2)+2∗(−2)2+4∗1∗(−3)=5S_4 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = e_1^4 - 4e_1^2 e_2 + 2e_2^2 + 4e_1 e_3 = 1^4 - 4*1^2 *(-2) + 2*(-2)^2 + 4*1*(-3) = 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.