MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică și că P(1)=10P(1) = 10, iar P(−1)=4P(-1) = 4, determinați coeficienții aa, bb, cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notează rădăcinile polinomului ca r−dr-d, rr, r+dr+d (în progresie aritmetică) și aplică formulele lui Vietè: suma rădăcinilor 3r=−a3r = -a, suma produselor a câte două rădăcini 3r2−d2=b3r^2 - d^2 = b, iar produsul rădăcinilor r(r2−d2)=−cr(r^2 - d^2) = -c.
23 puncte
Scrie condițiile P(1)=10P(1)=10 și P(−1)=4P(-1)=4: 1+a+b+c=101 + a + b + c = 10 și −1+a−b+c=4-1 + a - b + c = 4, obținând sistemul {a+b+c=9a−b+c=5\begin{cases} a + b + c = 9 \\ a - b + c = 5 \end{cases}.
34 puncte
Rezolvă sistemul: din cele două ecuații, scade-le pentru a obține 2b=42b = 4, deci b=2b=2; adună-le pentru a obține 2a+2c=142a + 2c = 14, deci a+c=7a+c=7. Din formulele lui Vietè, 3r=−a3r = -a și 3r2−d2=b=23r^2 - d^2 = b = 2. Folosește r(r2−d2)=−cr(r^2 - d^2) = -c și a+c=7a+c=7 pentru a găsi aa, cc, rr, dd. Din a+c=7a+c=7 și 3r=−a3r = -a, exprimă c=7−a=7+3rc=7-a=7+3r. Din r(r2−d2)=−c=−7−3rr(r^2 - d^2) = -c = -7-3r și 3r2−d2=23r^2 - d^2 = 2, obține r⋅2=−7−3rr \cdot 2 = -7-3r, deci 2r=−7−3r2r = -7-3r, 5r=−75r = -7, r=−75r = -\frac{7}{5}. Atunci a=−3r=215a = -3r = \frac{21}{5}, c=7−a=7−215=145c = 7 - a = 7 - \frac{21}{5} = \frac{14}{5}, iar d2=3r2−2=3(4925)−2=14725−5025=9725d^2 = 3r^2 - 2 = 3\left(\frac{49}{25}\right) - 2 = \frac{147}{25} - \frac{50}{25} = \frac{97}{25}, deci d=±975d = \pm\frac{\sqrt{97}}{5}. Coeficienții sunt a=215a = \frac{21}{5}, b=2b=2, c=145c=\frac{14}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.