MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve sistemul de ecuații: {x2+xy+y2=7x3+y3=26\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \\ x^3 + y^3 = 26 \end{cases} pentru x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se notează S=x+yS = x+y și P=xyP = xy. Atunci x2+xy+y2=(x+y)2−xy=S2−P=7x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = S^2 - P = 7 și x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=S3−3SP=26x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3SP = 26. Se obține sistemul: {S2−P=7S3−3SP=26\begin{cases} S^2 - P = 7 \\ S^3 - 3SP = 26 \end{cases}.
23 puncte
Din prima ecuație, P=S2−7P = S^2 - 7. Înlocuind în a doua: S3−3S(S2−7)=26⇒S3−3S3+21S=26⇒−2S3+21S−26=0⇒2S3−21S+26=0S^3 - 3S(S^2 - 7) = 26 \Rightarrow S^3 - 3S^3 + 21S = 26 \Rightarrow -2S^3 + 21S - 26 = 0 \Rightarrow 2S^3 - 21S + 26 = 0. Se verifică că S=2S=2 este rădăcină. Prin împărțire la S−2S-2, se obține (S−2)(2S2+4S−13)=0(S-2)(2S^2+4S-13)=0, deci S=2S=2 sau S=−2±302S = \frac{-2 \pm \sqrt{30}}{2}. Pentru fiecare SS, se calculează P=S2−7P = S^2 - 7.
33 puncte
Pentru fiecare pereche (S,P)(S,P), xx și yy sunt rădăcinile ecuației t2−St+P=0t^2 - St + P = 0. Pentru S=2S=2 și P=−3P=-3, ecuația t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0 are rădăcinile t=3t=3 și t=−1t=-1, deci soluțiile sunt (x,y)=(3,−1)(x,y)=(3,-1) sau (−1,3)(-1,3). Pentru S=−2±302S = \frac{-2 \pm \sqrt{30}}{2}, se calculează PP și se rezolvă ecuațiile pătratice corespunzătoare, obținându-se și alte perechi de soluții reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.