MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații Neliniare
Se consideră sistemul de ecuații: {x+y+z=1x2+y2+z2=3x3+y3+z3=1\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 1 \end{cases}. Determinați x,y,zx, y, z numere reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Notăm s1=x+y+zs_1 = x+y+z, s2=xy+yz+zxs_2 = xy+yz+zx, s3=xyzs_3 = xyz. Din prima ecuație, s1=1s_1 = 1.
22 puncte
Folosind identitatea x2+y2+z2=s12−2s2x^2+y^2+z^2 = s_1^2 - 2s_2, obținem 3=12−2s2⇒s2=−13 = 1^2 - 2s_2 \Rightarrow s_2 = -1.
33 puncte
Folosind identitatea x3+y3+z3=s13−3s1s2+3s3x^3+y^3+z^3 = s_1^3 - 3s_1 s_2 + 3s_3, obținem 1=13−3⋅1⋅(−1)+3s3⇒s3=−11 = 1^3 - 3 \cdot 1 \cdot (-1) + 3s_3 \Rightarrow s_3 = -1.
41 punct
Polinomul cu rădăcinile x,y,zx, y, z este t3−s1t2+s2t−s3=t3−t2−t+1=0t^3 - s_1 t^2 + s_2 t - s_3 = t^3 - t^2 - t + 1 = 0.
52 puncte
Rezolvăm ecuația t3−t2−t+1=0t^3 - t^2 - t + 1 = 0. Observăm că t=1t=1 este rădăcină și factorizăm: (t−1)2(t+1)=0(t-1)^2(t+1) = 0, deci rădăcinile sunt t1=t2=1t_1 = t_2 = 1 și t3=−1t_3 = -1.
61 punct
Prin urmare, x,y,zx, y, z sunt permutări ale numerelor 1,1,−11, 1, -1. Soluțiile sistemului sunt (1,1,−1),(1,−1,1),(−1,1,1)(1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.