MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)P(x) un polinom de gradul 3 cu coeficienți reali și cu coeficientul dominant 1. Știind că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică, suma lor este 6, iar P(1)=12P(1) = 12, determinați polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca x1=a−dx_1 = a-d, x2=ax_2 = a, x3=a+dx_3 = a+d. Din suma rădăcinilor, avem (a−d)+a+(a+d)=3a=6(a-d) + a + (a+d) = 3a = 6, deci a=2a=2.
23 puncte
Polinomul se scrie P(x)=(x−(2−d))(x−2)(x−(2+d))P(x) = (x - (2-d))(x-2)(x - (2+d)). Calculăm P(1)=(1−2+d)(1−2)(1−2−d)=(−1+d)(−1)(−1−d)=(d−1)(d+1)=d2−1P(1) = (1 - 2 + d)(1-2)(1 - 2 - d) = (-1+d)(-1)(-1-d) = (d-1)(d+1) = d^2 - 1. Din condiția P(1)=12P(1)=12, obținem d2−1=12d^2 - 1 = 12, deci d2=13d^2 = 13 și d=±13d = \pm\sqrt{13}.
34 puncte
Pentru d=13d = \sqrt{13}, polinomul este P(x)=(x−2+13)(x−2)(x−2−13)P(x) = (x - 2 + \sqrt{13})(x-2)(x - 2 - \sqrt{13}). Extindem: (x−2)(x2−4x+(4−13))=(x−2)(x2−4x−9)=x3−4x2−9x−2x2+8x+18=x3−6x2−x+18(x-2)(x^2 - 4x + (4-13)) = (x-2)(x^2 - 4x -9) = x^3 - 4x^2 -9x -2x^2 +8x+18 = x^3 -6x^2 -x+18. Similar, pentru d=−13d = -\sqrt{13}, obținem același polinom datorită simetriei. Deci P(x)=x3−6x2−x+18P(x) = x^3 - 6x^2 - x + 18.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.