MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații LiniareIdentități algebrice
Rezolvați sistemul de ecuații: {x+y+z=6x2+y2+z2=14x3+y3+z3=36\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 36 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se exprimă x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 în funcție de (x+y+z)(x+y+z) și xy+yz+zxxy+yz+zx: x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx). Înlocuind, 14=62−2(xy+yz+zx)14 = 6^2 - 2(xy+yz+zx), deci 14=36−2S14 = 36 - 2S, unde S=xy+yz+zxS = xy+yz+zx. Rezultă 2S=222S = 22, deci S=11S = 11.
24 puncte
Folosind identitatea x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy-yz-zx), avem 36−3xyz=6(14−11)=6⋅3=1836 - 3xyz = 6(14 - 11) = 6 \cdot 3 = 18, deci 36−3xyz=1836 - 3xyz = 18, de unde 3xyz=183xyz = 18, adică xyz=6xyz = 6.
33 puncte
Numerele x,y,zx, y, z sunt rădăcinile ecuației t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0, adică t3−6t2+11t−6=0t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0. Se verifică că t=1,t=2,t=3t=1, t=2, t=3 sunt rădăcini (de exemplu, prin încercare sau schema lui Horner), deci soluțiile sistemului sunt (1,2,3)(1,2,3) și permutările acestora.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.