MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Se consideră polinomul P(X)=X3+mX2+nX+pP(X) = X^3 + mX^2 + nX + p cu coeficienți reali. Știind că P(1)=0P(1) = 0 și că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică, determinați coeficienții m,n,pm, n, p și rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din P(1)=0P(1) = 0 obținem 1+m+n+p=01 + m + n + p = 0.
24 puncte
Fie rădăcinile a−da-d, aa, a+da+d în progresie aritmetică. Folosind formulele lui Vieta: suma rădăcinilor =−m=(a−d)+a+(a+d)=3a = -m = (a-d) + a + (a+d) = 3a, deci m=−3am = -3a. Suma produselor două câte două =n=(a−d)a+(a−d)(a+d)+a(a+d)=3a2−d2 = n = (a-d)a + (a-d)(a+d) + a(a+d) = 3a^2 - d^2. Produsul rădăcinilor =−p=(a−d)a(a+d)=a(a2−d2) = -p = (a-d)a(a+d) = a(a^2 - d^2), deci p=−a(a2−d2)p = -a(a^2 - d^2).
34 puncte
Substituind m,n,pm, n, p în ecuația de la step 1, avem 1−3a+(3a2−d2)−a(a2−d2)=01 - 3a + (3a^2 - d^2) - a(a^2 - d^2) = 0. Simplificând, obținem a3−3a2+2a=0a^3 - 3a^2 + 2a = 0, adică a(a−1)(a−2)=0a(a-1)(a-2)=0. Din contextul progresiei aritmetice, alegem a=1a=1 (altfel rădăcinile nu sunt distincte sau nu verifică condițiile). Atunci d=±1d = \pm 1, deci rădăcinile sunt 0,1,20, 1, 2. Coeficienții sunt m=−3m = -3, n=2n = 2, p=0p = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.