MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Dacă 1+i1+i este o rădăcină a polinomului și P(1)=4P(1) = 4, determinați coeficienții a, b, c și apoi găsiți toate rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină. Fie tt a treia rădăcină reală.
23 puncte
Folosim relațiile lui Vieta: suma rădăcinilor 2+t=−a2 + t = -a, suma produselor perechi 2+2t=b2 + 2t = b, produsul rădăcinilor 2t=−c2t = -c.
31 punct
Din condiția P(1)=4P(1)=4, avem 1+a+b+c=41 + a + b + c = 4.
42 puncte
Înlocuim a, b, c în funcție de t în ecuația de la pasul 3: 1+(−2−t)+(2+2t)+(−2t)=1−t=41 + (-2-t) + (2+2t) + (-2t) = 1 - t = 4, deci t=−3t = -3.
52 puncte
Calculăm coeficienții: a=−2−(−3)=1a = -2 - (-3) = 1, b=2+2(−3)=−4b = 2+2(-3) = -4, c=−2(−3)=6c = -2(-3) = 6.
61 punct
Rădăcinile polinomului sunt 1+i1+i, 1−i1-i și −3-3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.