MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații Neliniare
Se consideră polinomul Q(X)=X3+mX2+nX+pQ(X) = X^3 + mX^2 + nX + p cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 verifică x12+x22+x32=10x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 10 și x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, și că una dintre rădăcini este dublă (adică două rădăcini sunt egale), determinați coeficienții m,n,pm, n, p.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din formulele lui Viete, m=−(x1+x2+x3)=−4m = -(x_1 + x_2 + x_3) = -4. Relația x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=16−2n=10x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) = 16 - 2n = 10 dă n=3n = 3.
23 puncte
Datorită rădăcinii duble, fie x1=x2=tx_1 = x_2 = t și x3=ux_3 = u. Atunci 2t+u=42t + u = 4 și 2t2+u2=102t^2 + u^2 = 10.
34 puncte
Se rezolvă sistemul: din u=4−2tu = 4 - 2t, se substituie în 2t2+(4−2t)2=102t^2 + (4-2t)^2 = 10, obținând 6t2−16t+6=06t^2 - 16t + 6 = 0, adică 3t2−8t+3=03t^2 - 8t + 3 = 0. Rădăcinile sunt t=1t = 1 sau t=13t = \frac{1}{3}. Pentru t=1t=1, u=2u=2 și p=−x1x2x3=−t2u=−2p = -x_1x_2x_3 = -t^2 u = -2; pentru t=13t=\frac{1}{3}, u=103u=\frac{10}{3} și p=−(13)2⋅103=−1027p = -\left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{10}{3} = -\frac{10}{27}. Astfel, coeficienții sunt m=−4,n=3,p=−2m=-4, n=3, p=-2 sau m=−4,n=3,p=−1027m=-4, n=3, p=-\frac{10}{27}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.