MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu rădăcinile complexe x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Dacă x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3, x12+x22+x32=5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5, și x13+x23+x33=9x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 9, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți relațiile lui Viete: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c.
24 puncte
Exprimați x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) și x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−3(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x3x1)+3x1x2x3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1+x_2+x_3)^3 - 3(x_1+x_2+x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) + 3x_1 x_2 x_3.
33 puncte
Înlocuiți valorile cunoscute: din x1+x2+x3=3x_1+x_2+x_3=3 rezultă −a=3-a=3 deci a=−3a=-3; din 32−2b=53^2 - 2b = 5 obțineți b=2b=2; apoi din 33−3⋅3⋅2+3(−c)=93^3 - 3 \cdot 3 \cdot 2 + 3(-c) = 9 deduceți c=0c=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.