MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații LiniareIdentități algebrice
Se consideră polinoamele f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b și g(x)=x2+cx+dg(x) = x^2 + cx + d. Știind că f(x)f(x) și g(x)g(x) au o rădăcină comună, suma coeficienților lui ff este egală cu produsul coeficienților lui gg, adică 1+a+b=c⋅d1+a+b = c \cdot d, și că f(1)=g(2)f(1) = g(2), determinați polinoamele ff și gg.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrie condițiile: fie rr rădăcina comună, deci f(r)=0f(r)=0 și g(r)=0g(r)=0. Apoi, 1+a+b=c⋅d1+a+b = c \cdot d și f(1)=g(2)f(1) = g(2), adică 1+a+b=4+2c+d1+a+b = 4+2c+d.
23 puncte
Din f(r)=0f(r)=0 și g(r)=0g(r)=0, avem r2+ar+b=0r^2 + ar + b = 0 și r2+cr+d=0r^2 + cr + d = 0. Scăzând, obții (a−c)r+(b−d)=0(a-c)r + (b-d) = 0.
33 puncte
Formează sistemul de ecuații: (a−c)r+(b−d)=0(a-c)r + (b-d) = 0, 1+a+b=c⋅d1+a+b = c \cdot d, 1+a+b=4+2c+d1+a+b = 4+2c+d, și r2+ar+b=0r^2 + ar + b = 0. Rezolvă sistemul: din 1+a+b=c⋅d1+a+b = c \cdot d și 1+a+b=4+2c+d1+a+b = 4+2c+d, deduce c⋅d=4+2c+dc \cdot d = 4+2c+d. Folosește rr din prima ecuație pentru a exprima variabilele și găsește soluții reale pentru a,b,c,d,ra, b, c, d, r.
42 puncte
Verifică soluțiile în ecuațiile inițiale și scrie polinoamele. De exemplu, o soluție este f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1 și g(x)=x2−2x+1g(x) = x^2 - 2x + 1, dar pot exista și alte soluții; determină-le complet.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.