MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceNumere Complexe
Se consideră polinomul P(X)=X3−4X2+aX+bP(X) = X^3 - 4X^2 + aX + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Dacă rădăcinile lui PP sunt în progresie geometrică și P(0)=−8P(0) = -8, determinați aa și bb și găsiți rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului cu x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Din relațiile lui Viète, avem x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, x1x2+x2x3+x3x1=ax_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = a, x1x2x3=−bx_1 x_2 x_3 = -b.
23 puncte
Din P(0)=−8P(0) = -8, obținem b=−8b = -8, deci x1x2x3=8x_1 x_2 x_3 = 8.
32 puncte
Deoarece rădăcinile sunt în progresie geometrică, avem x22=x1x3x_2^2 = x_1 x_3. Din x1x2x3=8x_1 x_2 x_3 = 8 și x22=x1x3x_2^2 = x_1 x_3, rezultă x23=8x_2^3 = 8, de unde x2=2x_2 = 2.
42 puncte
Substituim x2=2x_2 = 2 în suma rădăcinilor: x1+2+x3=4⇒x1+x3=2x_1 + 2 + x_3 = 4 \Rightarrow x_1 + x_3 = 2. Din x22=x1x3=4x_2^2 = x_1 x_3 = 4. Rezolvăm sistemul x1+x3=2x_1 + x_3 = 2 și x1x3=4x_1 x_3 = 4, care dă ecuația t2−2t+4=0t^2 - 2t + 4 = 0 cu rădăcinile 1±i31 \pm i\sqrt{3}. Deci x1=1−i3x_1 = 1 - i\sqrt{3}, x3=1+i3x_3 = 1 + i\sqrt{3}. Apoi calculăm a=x1x2+x2x3+x3x1=2(x1+x3)+x1x3=2⋅2+4=8a = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = 2(x_1 + x_3) + x_1 x_3 = 2 \cdot 2 + 4 = 8. Astfel, a=8a = 8, b=−8b = -8, iar rădăcinile sunt 1−i31 - i\sqrt{3}, 22, 1+i31 + i\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.