MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Rădăcinile lui PP sunt în progresie geometrică. Dacă P(0)=−64P(0) = -64 și suma rădăcinilor este 14, determinați polinomul PP.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului în progresie geometrică: kr,k,kr\frac{k}{r}, k, kr.
22 puncte
Din P(0)=c=−64P(0) = c = -64 și din produsul rădăcinilor, avem kr⋅k⋅kr=k3=−c=64\frac{k}{r} \cdot k \cdot kr = k^3 = -c = 64, deci k=4k=4 (considerând rădăcina reală).
32 puncte
Din suma rădăcinilor, kr+k+kr=14\frac{k}{r} + k + kr = 14. Înlocuind k=4k=4, obținem 4(1r+1+r)=14⇒1r+1+r=72⇒1r+r=524\left(\frac{1}{r} + 1 + r\right) = 14 \Rightarrow \frac{1}{r} + 1 + r = \frac{7}{2} \Rightarrow \frac{1}{r} + r = \frac{5}{2}.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: 1r+r=52\frac{1}{r} + r = \frac{5}{2}. Multiplicăm cu 2r2r: 2+2r2=5r⇒2r2−5r+2=0⇒(2r−1)(r−2)=02 + 2r^2 = 5r \Rightarrow 2r^2 -5r +2=0 \Rightarrow (2r-1)(r-2)=0, deci r=12r=\frac{1}{2} sau r=2r=2.
51 punct
Pentru r=2r=2, rădăcinile sunt 2,4,82, 4, 8. Pentru r=12r=\frac{1}{2}, rădăcinile sunt 8,4,28, 4, 2, care sunt aceleași. Deci polinomul este P(x)=(x−2)(x−4)(x−8)=x3−14x2+56x−64P(x) = (x-2)(x-4)(x-8) = x^3 -14x^2 +56x -64.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.