MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X4−2X3+3X2−4X+5P(X) = X^4 - 2X^3 + 3X^2 - 4X + 5. Se știe că P(i)=0P(i) = 0, unde ii este unitatea imaginară. Determinați toate rădăcinile complexe ale polinomului și scrieți-l ca produs de factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece P(i)=0P(i)=0 și coeficienții polinomului sunt reali, ii este rădăcină, iar conjugata sa −i-i este de asemenea rădăcină. Astfel, (X−i)(X+i)=X2+1(X-i)(X+i) = X^2 + 1 divide P(X)P(X).
23 puncte
Efectuăm împărțirea polinomului P(X)P(X) la X2+1X^2 + 1 pentru a obține un cât de gradul 2. Prin împărțire, P(X)=(X2+1)(X2−2X+2)P(X) = (X^2 + 1)(X^2 - 2X + 2).
33 puncte
Rezolvăm ecuația X2−2X+2=0X^2 - 2X + 2 = 0 folosind discriminantul: Δ=(−2)2−4⋅1⋅2=4−8=−4\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4, deci rădăcinile sunt X=1±iX = 1 \pm i.
42 puncte
Rădăcinile polinomului sunt ii, −i-i, 1+i1+i, 1−i1-i. Scriem P(X)P(X) ca produs de factori ireductibili peste R\mathbb{R}: P(X)=(X2+1)(X2−2X+2)P(X) = (X^2 + 1)(X^2 - 2X + 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.