MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ca, b, c \in \mathbb{C}. Știind că 1+i1+i și 2−i2-i sunt rădăcini ale lui P(x)P(x) și că P(0)=10P(0) = 10, determinați polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din P(0)=10P(0)=10, obținem c=10c=10.
23 puncte
Fie rr a treia rădăcină. Folosind relațiile lui Viète, avem că suma rădăcinilor este −a-a, iar produsul rădăcinilor este −c=−10-c = -10.
32 puncte
Calculăm rr din ecuația (1+i)(2−i)⋅r=−10(1+i)(2-i) \cdot r = -10, obținând r=−3+ir = -3+i.
42 puncte
Determinăm aa și bb din suma rădăcinilor (1+i)+(2−i)+r=−a(1+i)+(2-i)+r = -a și suma produselor perechi (1+i)(2−i)+(1+i)r+(2−i)r=b(1+i)(2-i) + (1+i)r + (2-i)r = b, rezultând a=−ia = -i și b=−6+4ib = -6+4i, deci P(x)=x3−ix2+(−6+4i)x+10P(x) = x^3 - i x^2 + (-6+4i)x + 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.