MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că una dintre rădăcinile sale este z1=2+iz_1 = 2 + i, unde i2=−1i^2 = -1, și că P(1)=10P(1) = 10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și scrieți polinomul în forma factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcina complexă 2+i2+i are și conjugata sa 2−i2-i ca rădăcină. Astfel, rădăcinile sunt z1=2+iz_1 = 2+i, z2=2−iz_2 = 2-i, și o a treia rădăcină reală z3=rz_3 = r.
22 puncte
Aplicăm relațiile lui Viète: z1+z2+z3=−az_1 + z_2 + z_3 = -a, z1z2+z2z3+z3z1=bz_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = b, z1z2z3=−cz_1 z_2 z_3 = -c.
32 puncte
Calculăm z1+z2=4z_1 + z_2 = 4 și z1z2=5z_1 z_2 = 5. Atunci 4+r=−a4 + r = -a, 5+(2−i)r+(2+i)r=5+4r=b5 + (2-i)r + (2+i)r = 5 + 4r = b, și 5r=−c5r = -c.
41 punct
Din P(1)=10P(1) = 10, avem 1+a+b+c=101 + a + b + c = 10, deci a+b+c=9a + b + c = 9.
52 puncte
Înlocuim a=−4−ra = -4 - r, b=5+4rb = 5 + 4r, c=−5rc = -5r în a+b+c=9a + b + c = 9. Obținem (−4−r)+(5+4r)+(−5r)=9(-4 - r) + (5 + 4r) + (-5r) = 9, adică 1−2r=91 - 2r = 9, deci r=−4r = -4.
61 punct
Atunci a=0a = 0, b=−11b = -11, c=20c = 20. Polinomul este P(X)=X3−11X+20P(X) = X^3 - 11X + 20, iar forma factorizată este P(X)=(X2−4X+5)(X+4)P(X) = (X^2 - 4X + 5)(X + 4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.