MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații Neliniare
Se consideră sistemul de ecuații: {x+y+z=3x2+y2+z2=5x3+y3+z3=7\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 7 \end{cases} Determinați polinomul de gradul al treilea care are rădăcinile x,y,zx, y, z.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosim identitățile lui Newton. Notăm s1=x+y+z=3s_1 = x+y+z = 3, s2=x2+y2+z2=5s_2 = x^2+y^2+z^2 = 5, s3=x3+y3+z3=7s_3 = x^3+y^3+z^3 = 7. Calculăm sumele simetrice elementare: e1=s1=3e_1 = s_1 = 3. Pentru e2e_2, folosim relația s2=e12−2e2s_2 = e_1^2 - 2e_2, deci 5=32−2e2⇒5=9−2e2⇒2e2=4⇒e2=25 = 3^2 - 2e_2 \Rightarrow 5 = 9 - 2e_2 \Rightarrow 2e_2 = 4 \Rightarrow e_2 = 2. Pentru e3e_3, folosim relația s3=e13−3e1e2+3e3s_3 = e_1^3 - 3e_1e_2 + 3e_3, deci 7=33−3⋅3⋅2+3e3⇒7=27−18+3e3⇒7=9+3e3⇒3e3=−2⇒e3=−237 = 3^3 - 3\cdot3\cdot2 + 3e_3 \Rightarrow 7 = 27 - 18 + 3e_3 \Rightarrow 7 = 9 + 3e_3 \Rightarrow 3e_3 = -2 \Rightarrow e_3 = -\frac{2}{3}.
23 puncte
Polinomul cu rădăcinile x,y,zx, y, z este P(X)=X3−e1X2+e2X−e3=X3−3X2+2X−(−23)=X3−3X2+2X+23P(X) = X^3 - e_1X^2 + e_2X - e_3 = X^3 - 3X^2 + 2X - \left(-\frac{2}{3}\right) = X^3 - 3X^2 + 2X + \frac{2}{3}.
33 puncte
Putem scrie polinomul cu numitor comun: P(X)=13(3X3−9X2+6X+2)P(X) = \frac{1}{3}(3X^3 - 9X^2 + 6X + 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.