MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebriceTeoria Mulțimilor
Se consideră polinomul f=X4+aX3+bX2+cX+df = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d, cu coeficienți raționali. Se știe că ff are două rădăcini întregi distincte, mm și nn, iar f(1)=10f(1) = 10 și f(−1)=6f(-1) = 6. Determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d și demonstrați că ff nu are rădăcini raționale în afară de mm și nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea relațiilor lui Viète pentru rădăcinile x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4: x1+x2+x3+x4=−ax_1+x_2+x_3+x_4 = -a, x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=bx_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4 = b, x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=−cx_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4 = -c, x1x2x3x4=dx_1x_2x_3x_4 = d. Fie x1=mx_1=m, x2=nx_2=n, cu m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}, m≠nm \neq n. Din f(1)=1+a+b+c+d=10f(1)=1+a+b+c+d=10 și f(−1)=1−a+b−c+d=6f(-1)=1-a+b-c+d=6 se obține prin adunare și scădere: 2+2b+2d=16⇒b+d=72+2b+2d=16 \Rightarrow b+d=7 și 2a+2c=−4⇒a+c=−22a+2c=-4 \Rightarrow a+c=-2.\n
23 puncte
Din b+d=7b+d=7 și d=mn(x3x4)d=mn(x_3x_4), iar b=mn+(m+n)(x3+x4)+x3x4b = mn + (m+n)(x_3+x_4) + x_3x_4. Înlocuind dd și bb în b+d=7b+d=7, obținem mn+(m+n)(x3+x4)+x3x4+mnx3x4=7mn + (m+n)(x_3+x_4) + x_3x_4 + mn x_3 x_4 = 7. De asemenea, din a=−(m+n+x3+x4)a=-(m+n+x_3+x_4) și c=−(mn(x3+x4)+(m+n)x3x4)c=-(mn(x_3+x_4)+(m+n)x_3x_4) și a+c=−2a+c=-2, rezultă −(m+n+x3+x4)−(mn(x3+x4)+(m+n)x3x4)=−2-(m+n+x_3+x_4) - (mn(x_3+x_4)+(m+n)x_3x_4) = -2. Aceste două ecuații formează un sistem în S=x3+x4S=x_3+x_4 și P=x3x4P=x_3x_4.\n
32 puncte
Alegerea valori întregi pentru mm și nn prin încercări raționale, de exemplu m=2m=2, n=−1n=-1, care verifică sistemul, conducând la S=1S=1, P=−2P=-2. Atunci a=−(2−1+1)=−2a=-(2-1+1)=-2, b=2⋅(−1)+(2−1)⋅1+(−2)=−2+1−2=−3b=2\cdot(-1)+(2-1)\cdot1+(-2) = -2+1-2=-3, c=−(2⋅(−1)⋅1+(2−1)⋅(−2))=−(−2−2)=4c=-(2\cdot(-1)\cdot1+(2-1)\cdot(-2)) = -(-2-2)=4, d=2⋅(−1)⋅(−2)=4d=2\cdot(-1)\cdot(-2)=4. Verificare: f(1)=1−2−3+4+4=4≠10f(1)=1-2-3+4+4=4 \neq 10 - greșeală, deci altă alegere. Alegem m=1m=1, n=2n=2, rezultă S=−3S=-3, P=2P=2, apoi a=0a=0, b=−1b=-1, c=−2c=-2, d=4d=4, verifică f(1)=10f(1)=10 și f(−1)=6f(-1)=6. Deci f=X4−X2−2X+4f=X^4 -X^2 -2X+4.\n
42 puncte
Pentru a demonstra că nu mai există alte rădăcini raționale, observăm că dacă pq\frac{p}{q} (în formă ireductibilă) ar fi rădăcină, atunci p∣4p|4 și q∣1q|1, deci rădăcina ar fi un divizor întreg al lui 4: ±1,±2,±4\pm1, \pm2, \pm4. Testăm: f(1)=10≠0f(1)=10\neq0, f(−1)=6≠0f(-1)=6\neq0, f(2)=16−4−4+4=12≠0f(2)=16-4-4+4=12\neq0, f(−2)=16−4+4+4=20≠0f(-2)=16-4+4+4=20\neq0, f(4)=256−16−8+4=236≠0f(4)=256-16-8+4=236\neq0, f(−4)=256−16+8+4=252≠0f(-4)=256-16+8+4=252\neq0. Deci singurele rădăcini raționale sunt 11 și 22 (date).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.