MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați polinomul P(x)P(x) de gradul 4 cu coeficienți reali care are rădăcinile 1+2i1+2i și 3−i3-i, și care satisface P(0)=26P(0) = 26.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcinile complexe apar în perechi conjugate. Astfel, polinomul are rădăcinile 1+2i1+2i, 1−2i1-2i, 3−i3-i, 3+i3+i.
23 puncte
Scriem polinomul sub forma P(x)=k(x−(1+2i))(x−(1−2i))(x−(3−i))(x−(3+i))P(x) = k (x - (1+2i))(x - (1-2i))(x - (3-i))(x - (3+i)), cu k∈Rk \in \mathbb{R}.
32 puncte
Calculăm P(0)=k(−(1+2i))(−(1−2i))(−(3−i))(−(3+i))=k(1+2i)(1−2i)(3−i)(3+i)P(0) = k (-(1+2i)) (-(1-2i)) (-(3-i)) (-(3+i)) = k (1+2i)(1-2i)(3-i)(3+i). Simplificăm: (1+2i)(1−2i)=12−(2i)2=1−(−4)=5(1+2i)(1-2i)=1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5, iar (3−i)(3+i)=9−i2=9−(−1)=10(3-i)(3+i)=9 - i^2 = 9 - (-1)=10, deci P(0)=k⋅5⋅10=50kP(0)= k \cdot 5 \cdot 10 = 50k. Din P(0)=26P(0)=26, obținem 50k=2650k=26, deci k=2650=1325k=\frac{26}{50}=\frac{13}{25}.
42 puncte
Înlocuim kk și obținem polinomul: P(x)=1325(x2−2x+5)(x2−6x+10)P(x) = \frac{13}{25} (x^2 - 2x + 5)(x^2 - 6x + 10). Putem lăsa în această formă sau dezvolta mai departe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.