MediuPolinoameClasa 12

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul Q(X)=X4−2X3−3X2+4X+4Q(X) = X^4 - 2X^3 - 3X^2 + 4X + 4. Să se determine rădăcinile reale ale lui QQ și să se calculeze integrala definită ∫−12Q(x) dx\int_{-1}^{2} Q(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Căutăm rădăcini raționale posibile. Verificăm Q(−1)=1+2−3−4+4=0Q(-1) = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0, deci X+1X+1 este factor. Efectuăm împărțirea lui Q(X)Q(X) la X+1X+1 și obținem Q(X)=(X+1)(X3−3X2+4)Q(X) = (X+1)(X^3 - 3X^2 + 4).
23 puncte
Pentru X3−3X2+4X^3 - 3X^2 + 4, verificăm X=2X=2: 8−12+4=08 - 12 + 4 = 0, deci X−2X-2 este factor. Împărțim și obținem X3−3X2+4=(X−2)(X2−X−2)X^3 - 3X^2 + 4 = (X-2)(X^2 - X - 2). Factorizăm X2−X−2=(X−2)(X+1)X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1). Astfel, Q(X)=(X+1)2(X−2)2Q(X) = (X+1)^2 (X-2)^2, deci rădăcinile reale sunt x=−1x = -1 și x=2x = 2, ambele cu multiplicitate 2.
32 puncte
Integrala devine ∫−12Q(x) dx=∫−12(x+1)2(x−2)2 dx\int_{-1}^{2} Q(x) \, dx = \int_{-1}^{2} (x+1)^2 (x-2)^2 \, dx. Expandăm integrandul: (x+1)2(x−2)2=x4−2x3−3x2+4x+4(x+1)^2 (x-2)^2 = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4.
42 puncte
Calculăm integrala: ∫−12(x4−2x3−3x2+4x+4) dx=[x55−x42−x3+2x2+4x]−12\int_{-1}^{2} (x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 + 4x \right]_{-1}^{2}. La x=2x=2: 325−8−8+8+8=325\frac{32}{5} - 8 - 8 + 8 + 8 = \frac{32}{5}. La x=−1x=-1: −15−12+1+2−4=−1710-\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 1 + 2 - 4 = -\frac{17}{10}. Diferența: 325−(−1710)=6410+1710=8110\frac{32}{5} - (-\frac{17}{10}) = \frac{64}{10} + \frac{17}{10} = \frac{81}{10}. Deci integrala este 8110\frac{81}{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.