MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3−3x2+4x−2P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2. Să se demonstreze că polinomul are o rădăcină reală și două rădăcini complex conjugate, și să se calculeze ∣z1∣2+∣z2∣2|z_1|^2 + |z_2|^2, unde z1z_1 și z2z_2 sunt rădăcinile complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică că P(1)=0P(1)=0, deci x=1x=1 este rădăcină reală.
23 puncte
Se împarte polinomul P(x)P(x) la (x−1)(x-1) și se obține P(x)=(x−1)(x2−2x+2)P(x)=(x-1)(x^2 - 2x + 2).
34 puncte
Se rezolvă ecuația x2−2x+2=0x^2 - 2x + 2 = 0, care are soluțiile z1=1+iz_1 = 1+i și z2=1−iz_2 = 1-i. Se calculează ∣z1∣2=∣1+i∣2=2|z_1|^2 = |1+i|^2 = 2 și ∣z2∣2=∣1−i∣2=2|z_2|^2 = |1-i|^2 = 2, deci ∣z1∣2+∣z2∣2=4|z_1|^2 + |z_2|^2 = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.