MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că una dintre rădăcinile sale este 2+i2+i și că suma celor trei rădăcini este 5, determinați coeficienții aa, bb, cc și exprimați polinomul în formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcina 2+i2+i implică că conjugata sa 2−i2-i este și ea rădăcină. Astfel, z1=2+iz_1 = 2+i și z2=2−iz_2 = 2-i.
23 puncte
Din suma rădăcinilor: z1+z2+z3=5z_1 + z_2 + z_3 = 5. Calculăm z1+z2=(2+i)+(2−i)=4z_1 + z_2 = (2+i)+(2-i)=4, deci 4+z3=5⇒z3=14 + z_3 = 5 \Rightarrow z_3 = 1.
34 puncte
Folosind relațiile lui Viète: a=−(z1+z2+z3)=−5a = -(z_1 + z_2 + z_3) = -5, b=z1z2+z2z3+z3z1=(2+i)(2−i)+(2−i)⋅1+1⋅(2+i)=5+2−i+2+i=9b = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = (2+i)(2-i) + (2-i)\cdot1 + 1\cdot(2+i) = 5 + 2-i + 2+i = 9, c=−z1z2z3=−5⋅1=−5c = -z_1 z_2 z_3 = -5 \cdot 1 = -5. Polinomul factorizat este P(x)=(x−(2+i))(x−(2−i))(x−1)P(x) = (x - (2+i))(x - (2-i))(x-1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.