MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Se consideră polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică și că suma rădăcinilor este 12, iar suma pătratelor rădăcinilor este 56, determinați polinomul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca x1=d−rx_1 = d - r, x2=dx_2 = d, x3=d+rx_3 = d + r, unde dd este mijlocul și rr rația progresiei aritmetice.
22 puncte
Folosind suma rădăcinilor: x1+x2+x3=3d=12x_1 + x_2 + x_3 = 3d = 12, deci d=4d = 4.
33 puncte
Folosind suma pătratelor rădăcinilor: (d−r)2+d2+(d+r)2=3d2+2r2=56(d - r)^2 + d^2 + (d + r)^2 = 3d^2 + 2r^2 = 56. Cu d=4d = 4, obținem 3⋅16+2r2=563 \cdot 16 + 2r^2 = 56, deci 48+2r2=5648 + 2r^2 = 56, 2r2=82r^2 = 8, r2=4r^2 = 4, adică r=±2r = \pm 2.
43 puncte
Determinăm coeficienții polinomului folosind relațiile lui Viete: a=−(x1+x2+x3)=−12a = -(x_1 + x_2 + x_3) = -12, b=x1x2+x1x3+x2x3b = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3, și c=−x1x2x3c = -x_1 x_2 x_3. Pentru r=2r = 2, rădăcinile sunt 2,4,62, 4, 6, deci b=2⋅4+2⋅6+4⋅6=8+12+24=44b = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 4 \cdot 6 = 8 + 12 + 24 = 44, c=−2⋅4⋅6=−48c = -2 \cdot 4 \cdot 6 = -48. Pentru r=−2r = -2, rădăcinile sunt 6,4,26, 4, 2, care dau aceiași coeficienți. Astfel, polinomul este P(x)=x3−12x2+44x−48P(x) = x^3 - 12x^2 + 44x - 48.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.