MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Determinați polinomul P(x)P(x) de gradul 3 cu coeficienți reali care are rădăcinile x1=1x_1 = 1, x2=2+ix_2 = 2 + i, și x3=2−ix_3 = 2 - i, știind că P(0)=10P(0) = 10.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcinile complexe apar în perechi conjugate, deci x2x_2 și x3x_3 sunt conjugate.
23 puncte
Scriem polinomul în forma factorizată: P(x)=k(x−1)(x−(2+i))(x−(2−i))P(x) = k(x - 1)(x - (2+i))(x - (2-i)).
33 puncte
Calculăm P(0)P(0): P(0)=k(0−1)(0−(2+i))(0−(2−i))=k(−1)(−2−i)(−2+i)P(0) = k(0-1)(0-(2+i))(0-(2-i)) = k(-1)(-2-i)(-2+i). Simplificăm: (−2−i)(−2+i)=4−i2=5(-2-i)(-2+i) = 4 - i^2 = 5, deci P(0)=k(−1)(5)=−5kP(0) = k(-1)(5) = -5k. Din P(0)=10P(0)=10, obținem −5k=10-5k=10, deci k=−2k=-2.
42 puncte
Înlocuim kk și expandăm: P(x)=−2(x−1)(x2−4x+5)=−2(x3−5x2+9x−5)=−2x3+10x2−18x+10P(x) = -2(x-1)(x^2 - 4x + 5) = -2(x^3 - 5x^2 + 9x - 5) = -2x^3 + 10x^2 - 18x + 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.