MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul P(X)=X4+aX3+bX2+cX+dP(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d cu coeficienți reali. Se știe că rădăcinile sale sunt numere complexe conjugate două câte două și că P(1)=10P(1) = 10 și P(−1)=2P(-1) = 2. Dacă suma pătratelor rădăcinilor este 6, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4. Deoarece coeficienții sunt reali și rădăcinile sunt conjugate, putem scrie x1=α+iβx_1 = \alpha + i\beta, x2=α−iβx_2 = \alpha - i\beta, x3=γ+iδx_3 = \gamma + i\delta, x4=γ−iδx_4 = \gamma - i\delta, cu α,β,γ,δ∈R\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R}.
23 puncte
Folosind relațiile lui Viète, avem S1=x1+x2+x3+x4=−aS_1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -a, S2=∑i<jxixj=bS_2 = \sum_{i<j} x_i x_j = b, S3=∑i<j<kxixjxk=−cS_3 = \sum_{i<j<k} x_i x_j x_k = -c, S4=x1x2x3x4=dS_4 = x_1 x_2 x_3 x_4 = d.
33 puncte
Condiția sumei pătratelor: x12+x22+x32+x42=6x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 6. Calculând, x12+x22=2(α2−β2)x_1^2 + x_2^2 = 2(\alpha^2 - \beta^2) și x32+x42=2(γ2−δ2)x_3^2 + x_4^2 = 2(\gamma^2 - \delta^2), deci 2(α2−β2+γ2−δ2)=62(\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 - \delta^2) = 6, adică α2−β2+γ2−δ2=3\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 - \delta^2 = 3.
42 puncte
Din P(1)=1+a+b+c+d=10P(1) = 1 + a + b + c + d = 10 și P(−1)=1−a+b−c+d=2P(-1) = 1 - a + b - c + d = 2. Rezolvând sistemul cu Vieta și condiția sumei pătratelor, obținem ecuațiile care conduc la a=−1a = -1, b=3b = 3, c=−3c = -3, d=4d = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.