MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x4+4P(x) = x^4 + 4. Să se descompună P(x)P(x) în factori ireductibili peste C\mathbb{C} și peste R\mathbb{R}. Apoi, să se calculeze produsul tuturor rădăcinilor complexe ale lui P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se rescrie P(x)P(x) ca o diferență de pătrate: P(x)=x4+4=(x2+2)2−(2x)2=(x2+2x+2)(x2−2x+2)P(x) = x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2).
24 puncte
Peste C\mathbb{C}, se rezolvă ecuațiile pătratice: x2+2x+2=0x^2 + 2x + 2 = 0 are discriminantul Δ=4−8=−4\Delta = 4 - 8 = -4, deci rădăcinile x=−1±ix = -1 \pm i; x2−2x+2=0x^2 - 2x + 2 = 0 are Δ=4−8=−4\Delta = 4 - 8 = -4, deci rădăcinile x=1±ix = 1 \pm i. Astfel, descompunerea peste C\mathbb{C} este P(x)=(x−(−1+i))(x−(−1−i))(x−(1+i))(x−(1−i))P(x) = (x - (-1 + i))(x - (-1 - i))(x - (1 + i))(x - (1 - i)).
32 puncte
Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber al polinomului (deoarece polinomul este monic), adică 44. Se poate verifica calculând (−1+i)(−1−i)(1+i)(1−i)=[(−1)2−i2][12−i2]=(1+1)(1+1)=4(-1+i)(-1-i)(1+i)(1-i) = [(-1)^2 - i^2][1^2 - i^2] = (1+1)(1+1) = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.