MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Se consideră polinomul Q(x)=x3+ax2+bx+cQ(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Știind că rădăcinile lui QQ sunt în progresie aritmetică, că Q(1)=0Q(1) = 0 și că produsul rădăcinilor este 2, să se determine coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece rădăcinile sunt în progresie aritmetică și Q(1)=0Q(1)=0, putem nota rădăcinile ca 1−d,1,1+d1-d, 1, 1+d.
24 puncte
Din produsul rădăcinilor este 2, avem (1−d)⋅1⋅(1+d)=1−d2=2(1-d) \cdot 1 \cdot (1+d) = 1-d^2 = 2, deci d2=−1d^2 = -1.
33 puncte
Aplicând relațiile lui Viète: suma rădăcinilor =−a=(1−d)+1+(1+d)=3 = -a = (1-d) + 1 + (1+d) = 3, deci a=−3a = -3; suma produselor câte două =b=(1−d)1+1(1+d)+(1−d)(1+d)=1−d+1+d+1−d2=3−d2=3−(−1)=4 = b = (1-d)1 + 1(1+d) + (1-d)(1+d) = 1-d + 1+d + 1-d^2 = 3 - d^2 = 3 - (-1) = 4; produsul rădăcinilor =−c=(1−d)1(1+d)=1−d2=2 = -c = (1-d)1(1+d) = 1-d^2 = 2, deci c=−2c = -2. Astfel, a=−3,b=4,c=−2a=-3, b=4, c=-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.