MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(z)=z4+4P(z) = z^4 + 4, unde z∈Cz \in \mathbb{C}. Să se afle toate rădăcinile complexe ale acestui polinom și să se exprime fiecare rădăcină sub formă trigonometrică r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos \theta + i \sin \theta).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Factorizarea polinomului: z4+4=(z2+2z+2)(z2−2z+2)z^4 + 4 = (z^2 + 2z + 2)(z^2 - 2z + 2).
24 puncte
Rezolvarea ecuațiilor pătratice: din z2+2z+2=0z^2 + 2z + 2 = 0 se obține z=−1±iz = -1 \pm i, iar din z2−2z+2=0z^2 - 2z + 2 = 0 se obține z=1±iz = 1 \pm i.
33 puncte
Exprimarea în formă trigonometrică: pentru z=−1+iz = -1 + i, r=2r = \sqrt{2} și θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4}, deci 2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}); pentru z=−1−iz = -1 - i, r=2r = \sqrt{2} și θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4}, deci 2(cos⁡5π4+isin⁡5π4)\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}); pentru z=1+iz = 1 + i, r=2r = \sqrt{2} și θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, deci 2(cos⁡π4+isin⁡π4)\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}); pentru z=1−iz = 1 - i, r=2r = \sqrt{2} și θ=7π4\theta = \frac{7\pi}{4}, deci 2(cos⁡7π4+isin⁡7π4)\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.