MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că două dintre rădăcinile sale sunt numere complexe conjugate, suma rădăcinilor este 2, iar produsul rădăcinilor este -8, determinați coeficienții aa, bb, cc și scrieți polinomul în forma factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați rădăcinile ca x1x_1, x2x_2, x3x_3 unde x2=x3‾x_2 = \overline{x_3}. Aplicați formulele lui Viete: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x1x3+x2x3=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c. Din enunț, x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2 și x1x2x3=−8x_1 x_2 x_3 = -8.
23 puncte
Deoarece x2x_2 și x3x_3 sunt conjugate, notați x2=u+vix_2 = u + vi, x3=u−vix_3 = u - vi cu u,v∈Ru,v \in \mathbb{R}. Atunci x1+2u=2x_1 + 2u = 2 și x1(u2+v2)=−8x_1 (u^2 + v^2) = -8.
32 puncte
x1x_1 este real. Rezolvați sistemul {x1+2u=2x1(u2+v2)=−8\begin{cases} x_1 + 2u = 2 \\ x_1 (u^2 + v^2) = -8 \end{cases} considerând v2≥0v^2 \geq 0. Obțineți x1=−2x_1 = -2, u=2u = 2, v2=2v^2 = 2, deci v=2v = \sqrt{2}.
42 puncte
Din Viete, a=−(x1+x2+x3)=−2a = -(x_1 + x_2 + x_3) = -2, b=x1x2+x1x3+x2x3=(−2)(2+i2)+(−2)(2−i2)+(2+i2)(2−i2)=−4−2i2−4+2i2+4+2=−2b = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = (-2)(2 + i\sqrt{2}) + (-2)(2 - i\sqrt{2}) + (2 + i\sqrt{2})(2 - i\sqrt{2}) = -4 - 2i\sqrt{2} -4 + 2i\sqrt{2} + 4 + 2 = -2, și c=−x1x2x3=8c = -x_1 x_2 x_3 = 8. Polinomul factorizat este P(X)=(X+2)(X−2−i2)(X−2+i2)P(X) = (X + 2)(X - 2 - i\sqrt{2})(X - 2 + i\sqrt{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.