MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x4+4x3+6x2+4x+5P(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 5. Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului și să se calculeze suma pătratelor modulelor acestor rădăcini.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Observăm că P(x)=(x+1)4+4P(x) = (x+1)^4 + 4.
21 punct
Ecuația P(x)=0P(x)=0 devine (x+1)4=−4(x+1)^4 = -4.
31 punct
Scriem −4-4 în formă trigonometrică: −4=4(cos⁡π+isin⁡π)-4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi).
42 puncte
Rădăcinile de ordinul 4: x+1=2(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)x+1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
52 puncte
Pentru fiecare kk, calculăm x=−1+2eiθkx = -1 + \sqrt{2} e^{i\theta_k} cu θk=π4,3π4,5π4,7π4\theta_k = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, și modulul pătrat: ∣x∣2=3−22cos⁡θk|x|^2 = 3 - 2\sqrt{2} \cos \theta_k.
62 puncte
Calculăm cos⁡θk\cos \theta_k: cos⁡π4=22\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡3π4=−22\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡5π4=−22\cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡7π4=22\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, apoi suma: ∑∣xk∣2=12\sum |x_k|^2 = 12.
71 punct
Suma pătratelor modulelor este 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.