MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d cu coeficienți reali. Știind că P(i)=0P(i) = 0 și P(1+i)=0P(1+i) = 0, unde i2=−1i^2 = -1, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d și scrieți polinomul în formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcinile complexe apar în perechi conjugate. Din P(i)=0P(i)=0, rezultă P(−i)=0P(-i)=0. Din P(1+i)=0P(1+i)=0, rezultă P(1−i)=0P(1-i)=0. Astfel, rădăcinile polinomului sunt i,−i,1+i,1−ii, -i, 1+i, 1-i.
22 puncte
Polinomul poate fi scris ca P(x)=(x−i)(x+i)(x−(1+i))(x−(1−i))P(x) = (x-i)(x+i)(x-(1+i))(x-(1-i)).
33 puncte
Se efectuează înmulțirile: (x−i)(x+i)=x2+1(x-i)(x+i) = x^2 + 1 și (x−(1+i))(x−(1−i))=(x−1−i)(x−1+i)=(x−1)2+1=x2−2x+2(x-(1+i))(x-(1-i)) = (x-1-i)(x-1+i) = (x-1)^2 + 1 = x^2 - 2x + 2. Apoi, P(x)=(x2+1)(x2−2x+2)=x4−2x3+2x2+x2−2x+2=x4−2x3+3x2−2x+2P(x) = (x^2+1)(x^2-2x+2) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x^2 - 2x + 2 = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2.
42 puncte
Comparând cu P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, obținem a=−2a = -2, b=3b = 3, c=−2c = -2, d=2d = 2. Forma factorizată este P(x)=(x2+1)(x2−2x+2)P(x) = (x^2+1)(x^2-2x+2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.