MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Determinați polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali, știind că rădăcinile sale sunt numere complexe conjugate și satisfac relația x12+x22+x32=10x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 10, iar P(1)=4P(1) = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați rădăcinile polinomului ca x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Deoarece coeficienții sunt reali și rădăcinile complexe conjugate, una este reală și două sunt conjugate: fie x1=u+vix_1 = u + vi, x2=u−vix_2 = u - vi, x3=rx_3 = r, cu u,v,r∈Ru, v, r \in \mathbb{R}. Folosiți relațiile Viète: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x1x3+x2x3=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c.
23 puncte
Exprimați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 folosind sume: x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=10x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 10. Substituiți pentru a obține ecuații în aa și bb.
32 puncte
Din P(1)=4P(1)=4, aveți 1+a+b+c=41 + a + b + c = 4, deci a+b+c=3a + b + c = 3.
42 puncte
Rezolvați sistemul de ecuații: din pasul 2, a2−2b=10a^2 - 2b = 10, iar din pasul 3 și relațiile Viète, găsiți a=−2a = -2, b=3b = 3, c=2c = 2. Polinomul este P(x)=x3−2x2+3x+2P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.