MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Se consideră polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică și că P(1)=10P(1) = 10, iar P(−1)=−6P(-1) = -6, să se determine coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca x1=r−dx_1 = r-d, x2=rx_2 = r, x3=r+dx_3 = r+d. Din relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul trei, avem x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c.
23 puncte
Calculăm P(1)=1+a+b+c=10P(1) = 1 + a + b + c = 10 și P(−1)=−1+a−b+c=−6P(-1) = -1 + a - b + c = -6, obținând ecuațiile a+b+c=9a + b + c = 9 și a−b+c=−5a - b + c = -5.
34 puncte
Din progresia aritmetică, x1+x3=2x2x_1 + x_3 = 2x_2, deci x1+x2+x3=3x2=−ax_1 + x_2 + x_3 = 3x_2 = -a. Rezolvând sistemul format din ecuațiile de la step 2 și relațiile lui Viète, găsim x2=1x_2 = 1, apoi a=−3a = -3, b=3b = 3, c=9c = 9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.