MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)P(x) un polinom cu coeficienți reali de gradul 4. Se știe că P(1+i)=0P(1+i)=0 și că restul împărțirii lui P(x)P(x) la x2−4x^2 - 4 este 2x+12x+1. Determinați polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali și P(1+i)=0P(1+i)=0, rezultă că P(1−i)=0P(1-i)=0, deci (x2−2x+2)(x^2 - 2x + 2) divide P(x)P(x).
21 punct
Scriem P(x)=(x2−2x+2)⋅Q(x)P(x) = (x^2 - 2x + 2) \cdot Q(x), cu Q(x)Q(x) polinom de gradul 2.
31 punct
Din condiția cu restul, P(x)=(x2−4)⋅S(x)+2x+1P(x) = (x^2 - 4) \cdot S(x) + 2x+1, cu S(x)S(x) polinom de gradul 2.
42 puncte
Obținem ecuația (x2−2x+2)Q(x)=(x2−4)S(x)+2x+1(x^2 - 2x + 2)Q(x) = (x^2 - 4)S(x) + 2x+1.
52 puncte
Folosim metoda coeficienților nedeterminați: fie Q(x)=ax2+bx+cQ(x) = ax^2 + bx + c și S(x)=dx2+ex+fS(x) = dx^2 + ex + f. Substituim în ecuație și egalăm coeficienții.
62 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații pentru a determina a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f și găsim P(x)=(x2−2x+2)(x2+2x+3)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.