MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X4+1P(X) = X^4 + 1. Să se descompună P(X)P(X) în factori ireductibili peste R\mathbb{R} și peste C\mathbb{C}. Apoi, să se rezolve ecuația P(X)=0P(X) = 0 în mulțimea numerelor complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Pentru descompunerea peste C\mathbb{C}, se rezolvă ecuația X4+1=0X^4 + 1 = 0, adică X4=−1X^4 = -1. Se scrie −1-1 în formă trigonometrică: −1=cos⁡π+isin⁡π-1 = \cos \pi + i \sin \pi.
22 puncte
Rădăcinile de ordinul 4 ale lui −1-1 sunt: Xk=cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4X_k = \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4}, pentru k=0,1,2,3k = 0, 1, 2, 3.
32 puncte
Calculăm explicit: X0=cos⁡π4+isin⁡π4=22+i22X_0 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, X1=cos⁡3π4+isin⁡3π4=−22+i22X_1 = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, X2=cos⁡5π4+isin⁡5π4=−22−i22X_2 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}, X3=cos⁡7π4+isin⁡7π4=22−i22X_3 = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}.
41 punct
Descompunerea peste C\mathbb{C} este P(X)=(X−X0)(X−X1)(X−X2)(X−X3)P(X) = (X - X_0)(X - X_1)(X - X_2)(X - X_3).
52 puncte
Pentru descompunerea peste R\mathbb{R}, observăm că rădăcinile complexe sunt conjugate: X0X_0 și X3X_3 sunt conjugate, la fel X1X_1 și X2X_2. Produsele perechilor de factori dau factori pătratici cu coeficienți reali.
61 punct
Calculăm: (X−X0)(X−X3)=X2−(X0+X3)X+X0X3=X2−2X+1(X - X_0)(X - X_3) = X^2 - (X_0 + X_3)X + X_0 X_3 = X^2 - \sqrt{2}X + 1 și (X−X1)(X−X2)=X2+2X+1(X - X_1)(X - X_2) = X^2 + \sqrt{2}X + 1. Astfel, descompunerea peste R\mathbb{R} este P(X)=(X2−2X+1)(X2+2X+1)P(X) = (X^2 - \sqrt{2}X + 1)(X^2 + \sqrt{2}X + 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.