MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameInducție matematică
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, polinomul Qn(x)=x2n−1Q_n(x) = x^{2n} - 1 este divizibil cu polinomul x2−1x^2 - 1. Apoi, determinați câtul împărțirii lui Qn(x)Q_n(x) la x2−1x^2 - 1 pentru n=3n=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: Q1(x)=x2−1=(x2−1)⋅1Q_1(x) = x^2 - 1 = (x^2 - 1) \cdot 1, deci este divizibil.
23 puncte
Presupunem că pentru n=kn=k, Qk(x)=x2k−1Q_k(x) = x^{2k} - 1 este divizibil cu x2−1x^2 - 1, adică există un polinom Rk(x)R_k(x) astfel încât x2k−1=(x2−1)Rk(x)x^{2k} - 1 = (x^2 - 1)R_k(x).
33 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: Qk+1(x)=x2(k+1)−1=x2k+2−1=x2⋅x2k−1Q_{k+1}(x) = x^{2(k+1)} - 1 = x^{2k+2} - 1 = x^2 \cdot x^{2k} - 1. Folosind ipoteza de inducție, x2k=(x2−1)Rk(x)+1x^{2k} = (x^2 - 1)R_k(x) + 1. Atunci Qk+1(x)=x2((x2−1)Rk(x)+1)−1=x2(x2−1)Rk(x)+x2−1=(x2−1)(x2Rk(x)+1)Q_{k+1}(x) = x^2((x^2 - 1)R_k(x) + 1) - 1 = x^2(x^2 - 1)R_k(x) + x^2 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 R_k(x) + 1). Deci Qk+1(x)Q_{k+1}(x) este divizibil cu x2−1x^2 - 1.
42 puncte
Pentru n=3n=3, Q3(x)=x6−1Q_3(x) = x^6 - 1. Efectuăm împărțirea: x6−1=(x2−1)(x4+x2+1)x^6 - 1 = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1). Verificare: (x2−1)(x4+x2+1)=x6+x4+x2−x4−x2−1=x6−1(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1) = x^6 + x^4 + x^2 - x^4 - x^2 - 1 = x^6 - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.